Тема 1: Системы счисления

В повседневной деятельности мы привыкли к счету с применением цифр 1, 2, 3 и т. д. Вследствие технических особенностей, компьютер применяет другой метод счета, в котором используется всего две цифры 0 и 1. Например, до пяти компьютер считает так: 1, 10, 11, 100, 101. Числа 10, 11, 100 ... являются двоичными, они базируются на системе счисления, состоящей из двух цифр. Десятичная система состоит из десяти цифр 0 ... 9.

Одно и тоже число можно записать в разных системах счисления. Например: двоичное число 10 соответствует десятичному 2.

Компьютер может оперировать только двоичными числами. Но программисту очень неудобно использовать длинные цепочки нулей и единиц, отображающих разные числовые значения. Поэтому, для написания программ был придуман другой, более компактный способ записи чисел – шестнадцатеричная система счисления.

Изучение шестнадцатеричной системы счисления мы начнем в специальной программе - DEBUG.EXE, которая входит в состав операционной системы Windows.

Debug

Используя Debug можно проверить работу программы в пошаговом режиме. Это позволяет найти и исправить возможные ошибки. Данный процесс называется отладка "debugging", отсюда и произошло название программы.

Термин "debugging" (обезжучивание) имеет глубокие корни - он появился в тот день, когда перестал работать компьютер Гарвардского университета Марк 1. После долгих поисков техники обнаружили небольшую моль, попавшую между контактами реле. Они удалили моль и внесли запись в сменный журнал о процессе под названием "debugging", произведенном над Марком.

Наиболее удобной средой для изучения Debug является файл-менеджер FAR. Для запуска Debug необходимо в командной строке FAR-а набрать команду "debug" и нажать [Enter]:
debug <Enter>
-

Дефис означает, что Debug ждет команды. Чтобы покинуть программу наберите команду "Q" (Quit - выход) и нажмите ввод:
-q <Enter>

Для сложение и вычитание двух шестнадцатеричных чисел используем команду "H" (Hex – шестнадцатеричный), например:
-h 3 2 <Enter>
0005 0001

Debug печатает сумму 3 + 2 = 5 и разность 3 - 2 = 1. С числами от 0 до 9 Debug ведет себя как с десятичными числами. Сходство между шестнадцатеричной и десятичной системами заканчивается при получении результата больше девяти, например 9 + 1:
-h 9 1
000A 0008

A - это шестнадцатеричное число, аналог десятичного числа 10. Выполните вычисления: 9 + 2, 9 + 3, 9 + 4, 9 + 5, 9 + 6. В результате получатся остальные числа: B, C, D, E, F. Такой способ записи чисел является очень компактным и удобным с точки зрения представления информации в компьютере.

Debug работает только с шестнадцатеричными числами. Некоторые операции с такими числами могут давать не совсем обычные результаты. Например, сложите 8 + 8:
-h 8 8
0010 0000

10 - это шестнадцатеричное число, аналог десятичного числа 16. Теперь найдите разность между числами 2 и 3:
-h 2 3
0005 FFFF

Разность чисел FFFF - это шестнадцатеричное число, соответствующее единице со знаком минус "-1". Попробуйте получить -2, -3 и другие отрицательные числа.

Перевод шестнадцатеричных чисел в десятичную форму

Обычно шестнадцатеричные числа помечают специальным символом "h": 12h, F8h, 10h и др. Это позволяет избегать путаницы между десятичными и шестнадцатеричными числами, не содержащими букв: 12 - десятичное, 12h - шестнадцатеричное.

Для перевода чисел из hex- в dec- форму используется очень простой алгоритм. Например, переведем A7h в десятичную форму:
 

1	переводим обе цифры в десятичную форму
2	умножаем каждое число на коэффициент, соответствующий разряду числа (весовой коэффициент)
3	складываем полученные числа	160+7=167

 
 
 
 
 
 
 
 

Шестнадцатеричное число A7h соответствует десятичному числу 167.
Данный пример можно записать более компактно:

 

перевод числа A7h в десятичную форму

Примеры перевода чисел из одной системы счисления в другую:
 

Перевод числа 2E8h в десятичную форму:	Перевод числа AF1Ch в десятичную форму:
Весовые коэффициенты:   65535 4096 256 16 1	Перевод числа 3B8D2h в десятичную форму:

Переведите следующие шестнадцатеричные числа в десятичную форму:

1. A7h     4. 100h     7. 4F8Ch
2. 45h     5. 5E9h     8. 1000h
3. FFh     6. FFFh     9. FFFFh

Сложение и вычитание шестнадцатеричных чисел

A + 1 = B     B - A = 1     F + 1 = 10     A + C = 16
B - 2 = 9     7 + 7 = E     F + F = 1E     10 - 8 = 8

Проверим, сколько шестнадцатеричных десятков содержится в числе 30: 30 / 16 = 1 (один десяток). Шестнадцатеричный десяток 10h соответствует десятичному числу 16. Проводим вычитание 30 - 16 и получаем остаток 14, откуда: 14 + 16 = Eh + 10h = 1Eh.
Числа с большим числом разрядов можно складывать "столбиком":

1        1      1         1111       1 1
 C      2A7      F451      BCD8      BCD8
+D     +92A     +CB03     +FAE9     +0509
19      BD1     1BF54     1B7C1      C1E1

1. 3F8h + AB9h     4. 4E5h + 4F3h     7. DF8h - AB9h
2. FF7h + 8BFh     5. FFFh + FFFh     8. FF7h - 8BFh
3. CD0h + A82h     6. FFFh + 001h     9. CD2h - A82h

Пятизначные шестнадцатеричные числа

-h 5C3F0 4BC6
       ^Error

Если сложить два "слова", например C000h и D000h, то вместо действительного результата 19000h получится "урезанный" до четырех разрядов результат 9000h:
-h C000 D000
9000 F000

Debug сохраняет четыре младших цифры ответа, а единицу из старшего разряда заносит в специальную ячейку, которая будет рассмотрена позже.

Подумайте, какое значение имеет старший (пятый) разряд при сложении четырехразрядных шестнадцатеричных чисел?

Перевод десятичных чисел в шестнадцатеричную форму

_300 ?16                             То же самое можно записать иначе:
 16  _18 ?16                         300 / 16 = 18 остаток 12 ® C
_140  16  1 ?® 1                      18 / 16 = 1  остаток  2 ® 2
 128   2 ???® 2 ? 12Ch         1 / 16 = 0  остаток  1 ® 1
  12 ??????® С               ??????????????????
                                     300 = 12Ch

60000/16 = 3750 остаток  0 ® 0     1000/16 = 62 остаток  8 ® 8
 3750/16 =  234 остаток  6 ® 6       62/16 =  3 остаток 14 ® E
  234/16 =   14 остаток 10 ® A        3/16 =  0 остаток  3 ® 3
   14/16 =    0 остаток 14 ® E     ?????????????????
???????????????????     1000 = 3E8h
60000 = EA60h

945, 138, 1100, 885, 230, 256, 1024.

Шестнадцатеричный результат переведите обратно в десятичную форму - это позволит проверить корректность ваших действий.

Отрицательные числа

Пусть так, тогда если сложить FFFFh и 5, то должно получиться 4:
-h 5 FFFF
0004 0006

Похоже, Debug действительно обращается с FFFFh, как с -1. Рассмотрим механизм сложения чисел 5 и FFFFh, при суммировании "столбиком":

1111
 0005     5 + (-1) = 4
+FFFF
10004

Сложение чисел, больших чем 8000h дает переполнение.
Такие числа ведут себя аналогично отрицательным числам:

1111                 1111
 0008                 FFF0
+FFFA                +8FFF
10002   8+(-6)=2     18FEF   -10h+(-7001h)= -7011h

Любой язык программирования позволяет оперировать двумя типами чисел: знаковыми и беззнаковыми. Представление числа зависит от конкретной ситуации. Например: FFFAh можно рассматривать как число без знака, и как отрицательное число -6. Если в программе нужны отрицательные числа, то диапазон 0 ... FFFFh делится на две части:
[0 ... 7FFFh] - положительные числа и [8000h ... FFFFh] - отрицательные числа.

Отрицательный аналог числа 8FEFh называется его дополнительным кодом, и выражается числом -7011h. Рассмотрим алгоритм нахождения дополнительного кода:

1. Инвертировать исходное число, т.е. заменить все цифры числа на противоположные:

F ® 0, E ® 1, D ® 2, C ® 3, B ® 4 и т.д. После инверсии 8FEFh выглядит так: 7010h.
 
2. К инверсному числу добавить единицу: 7010h + 1 = 7011h. Получилось искомое число.

Если в вычислениях требуются отрицательные числа, то предыдущий диапазон смещается в отрицательную область: -8000h ... 7FFFh или -32768 ... 32767.

Деление чисел на два типа весьма условно, и определяется в основном потребностями программиста. При этом микропроцессору совершенно безразлично, к каким типам мы относим те или иные числа.
Вычислите дополнительный код следующих чисел:

FF00h, AD3Fh, 9000h, EDF4h, B348h.
 
 

Двоичная система счисления

0 вольт соответствует цифре "0"
1 вольт соответствует цифре "1"
...
9 вольт соответствует цифре "9"

При этом вероятность возникновения ошибки (например, из-за колебаний напряжения) очень велика. Наиболее надежным способом представления чисел в электронном устройстве, является двоичная система счисления:

0...0,5 вольт соответствует цифре "0"
2,5...5 вольт соответствует цифре "1"

Такая разница между уровнями сигналов (соответствующих "0" и "1") практически исключает ошибки связанные с колебаниями напряжения и другими искажениями сигнала. Кроме того, значительно упрощается компонентная база компьютера.

Таким образом, двоичная система счисления стала единым стандартом представления чисел в любом "думающем" электронном устройстве.

Двоичная система оптимальна для разработки микропроцессорных систем, но очень неудобна для написания программ. Чтобы упростить процесс общения с микропроцессором, были разработаны программы, транслирующие шестнадцатеричные числа в двоичный код, и выполняющие обратное преобразование. Одной из таких программ является Debug.

Для вывода на экран чисел в шестнадцатеричном формате, Debug использует небольшую подпрограмму, которая переводит двоичные числа (обрабатываемые микропроцессором), в шестнадцатеричную форму.

Двоичные числа мы будем помечать индексом "b" (binary - двоичный), например: 10010111b.

Номера разрядов	3	2	1	0
Весовые коэффициенты
Число	1	1	0	1

Рассмотрим число 1101b. Все разряды числа характеризуются весовыми коэффициентами, которые получаются возведением основания системы счисления (два) в степень, соответствующую номеру разряда. Нумерация разрядов начинается с нуля.

Для перевода числа из двоичной системы в десятичную, необходимо выбрать весовые коэффициенты тех разрядов, где есть единица (в случае числа 1101b, это: ,  и ). Далее нужно сложить эти числа:  +  +  = 13.
 

1	1	0	1	0	0	1	0
+  +  +  = 210

Перевод числа 11010010b в десятичную форму:

Переведите следующие двоичные числа в десятичный формат:

1. 0110b     3. 0101b     5. 10111001b     7. 10101101b
2. 1011b     4. 1001b     6. 10011001b     8. 11111111b

- бит                        1
- полубайт                1011
- байт               1101 0011
- слово    1001 0110 0101 1110

знаковый бит   бит     байт 
          ?             ?        ?                 ?
          1001 0110 1101 0111
          ?      слово      ?

Рассмотрим таблицу, в которой отражено соответствие двоичных, шестнадцатеричных и десятичных чисел.

Из таблицы видно, что двоичная и шестнадцатеричная системы кратны между собой. Данную пропорциональность в размерности чисел можно сформулировать так:

• двоичный полубайт 1111b = Fh
• двоичный байт 11111111b = FFh
• двоичное слово 1111111111111111b = FFFFh

Каждая декада переводится в шестнадцатеричный формат, аналогично преобразованию чисел из двоичной системы счисления в десятичную:

1001b =  +      =  9 ® 9
0010b =                 =  2 ® 2
0101b =  +      =  5 ® 5
1011b =  +  +   = 11 ® B
??????????????????
1001.0010.0101.1011b = 925Bh

1. 1111b     4. 1110b     7. 10101001b
2. 1010b     5. 1001b     8. 10001001b
3. 1011b     6. 1101b     9. 11111111b

              1
 1      0      1
+0     +1     +1
 1      1     10

1111                       111111
 1101     13 + 3 = 16      01101110     110 + 90 = 200
+0011                     +01011010
10000                      11001000

1. 0101 + 1100     3. 10100011 + 00110011
2. 1110 + 0011     4. 10110011 + 01011100

Дополнительный код

Раннее отмечалось, что в некоторых случаях числа 8000h ... FFFFh ведут себя как отрицательные.
Рассмотрим числа 0 ... FFFFh в двоичной системе счисления. Данный ряд делится на две равные части. Cтарший бит, в двоичном представлении чисел, выделен жирным шрифтом. Начиная с числа 8000h, старший бит устанавливается в единицу.

Старший бит является признаком отрицательного числа. По его состоянию микропроцессор определяет знак числа. Но если в программе используются команды для чисел без знака, то микропроцессор игнорирует знаковый бит, и воспринимает диапазон [0 ... FFFFh] как ряд положительных чисел.

Числа, в которых старший бит используется для хранения знака, известны как двоичное дополнение положительных чисел или дополнительный код.

Ранее мы находили дополнительный код шестнадцатеричных чисел (вспомните инверсию шестнадцатеричного числа с добавлением единицы). Дополнительный код двоичного числа определяется аналогично. Например, найдем дополнительный код числа 1101011010001001:

1. Инвертируем число:              1101.0110.1000.1001 (D689h)
                                            ?
2. Добавляем к результату единицу: 0010.1001.0111.0110
                                  +                  1
                                   0010.1001.0111.0111 (-2977h)

1. Преобразуем 1010 в дополнительный код: 1010 ® 0101 ® 0101 + 1 = 0110
2. Выполняем сложение:

11
 1101     1101 + (-1010) = 0011 или 13 + (-10) = 3
+0110
10011     (единица в старшем разряде игнорируется)

1. 1110 - 0011     3. 11110000 - 00110111
2. 1001 - 0110     4. 01110110 - 00111001